Hình học 12 – Hệ tọa độ trong không gian

TaiLieuViet xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian, với nội dung tài liệu được tổng hợp chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 1

Bài 3.1 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho ba vecto underset{a}{rightarrow}=(2;−1;2), underset{b}{rightarrow}=(3;0;1), underset{c}{rightarrow}=(−4;1;−1). Tìm tọa độ của các vecto underset{m}{rightarrow}underset{n}{rightarrow} biết rằng:

a) underset{m}{rightarrow}=3underset{a}{rightarrow}−2underset{b}{rightarrow}+underset{c}{rightarrow}

b) underset{m}{rightarrow}=2underset{a}{rightarrow}+ underset{b}{rightarrow}+4underset{c}{rightarrow}

Hướng dẫn làm bài

underset{m}{rightarrow}=(−4;−2;3), underset{n}{rightarrow}=(−9;2;1)

Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho vecto underset{a}{rightarrow}=(1;−3;4)

a) Tìm y0 và z0 để cho vecto underset{b}{rightarrow}=(2;y0;z0) cùng phương với underset{a}{rightarrow}

b) Tìm tọa độ của vecto underset{c}{rightarrow} biết rằng underset{a}{rightarrow}underset{c}{rightarrow} ngược hướng và |underset{c}{rightarrow}|=2|underset{a}{rightarrow}|

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta biết rằng underset{a}{rightarrow}underset{b}{rightarrow} cùng phương khi và chỉ khi underset{a}{rightarrow}=kunderset{b}{rightarrow} với k là một số thực. Theo giả thiết ta có:underset{b}{rightarrow}=(x0;y0;z0) với x0 = 2. Ta suy ra k=1/2 nghĩa là l=1/2x0

Do đó: −3=1/2y0 nên y0 = -6

4=1/2z0 nên z0 = 8

Vậy ta có underset{b}{rightarrow}=(2;−6;8)

b) Theo giả thiết ta có underset{c}{rightarrow}=−2underset{a}{rightarrow}

Do đó tọa độ của underset{c}{rightarrow} là: underset{c}{rightarrow} = (-2; 6; -8)

Bài 3.3 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Ta có: M’(x0; y0; 0)

M’’ (0; y0; z0)

M’’’(x0; 0; z0)

Bài 3.4 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

underset{AC}{rightarrow}=(−1;−3;0)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto underset{AB}{rightarrow}underset{AC}{rightarrow} cùng phương, nghĩa là underset{AB}{rightarrow}=kunderset{AC}{rightarrow} với k là một số thực.

Giả sử ta có underset{AB}{rightarrow}=kunderset{AC}{rightarrow}, khi đó k.(−1)=−1;k.(−3)=−2;k.(0)=1

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: underset{MN}{rightarrow}=(−5;2;0) và underset{MP}{rightarrow}=(−10;4;0). Hai vecto underset{MN}{rightarrow}underset{MP}{rightarrow} thỏa mãn điều kiện: underset{MN}{rightarrow}=kunderset{MP}{rightarrow} với k=1/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Hướng dẫn làm bài:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2

MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2

MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2

Từ đó ta tính được M(5/6;0;−7/6)

Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) underset{AC}{rightarrow}+underset{BD}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{BC}{rightarrow}

b) underset{AB}{rightarrow}=1/2underset{AC}{rightarrow}+1/2underset{AD}{rightarrow}+1/2underset{DC}{rightarrow}+underset{BD}{rightarrow}

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:

underset{AC}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{DC}{rightarrow}

underset{BD}{rightarrow}=underset{BC}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}

Do đó: underset{AC}{rightarrow}+underset{BD}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{BC}{rightarrow}underset{DC}{rightarrow}=−underset{CD}{rightarrow}

b) Vì underset{AB}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{DB}{rightarrow}underset{AD}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow} nên underset{AB}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}+underset{BD}{rightarrow}

Do đó: 2underset{AB}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}+underset{AD}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}+2underset{DB}{rightarrow}

Vậy underset{AB}{rightarrow}=1/2underset{AC}{rightarrow}+1/2underset{AD}{rightarrow}+1/2underset{CD}{rightarrow}+underset{DB}{rightarrow}

Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

ho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) underset{AB}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{CB}{rightarrow}=2underset{MN}{rightarrow}

b) underset{AB}{rightarrow}underset{CD}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}underset{BD}{rightarrow}=2underset{PQ}{rightarrow}

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

underset{MP}{rightarrow}=underset{QN}{rightarrow}=1/2underset{CD}{rightarrow}underset{QN}{rightarrow}=PN=1/2underset{AB}{rightarrow}.

Do đó underset{MN}{rightarrow}=MQ+underset{MP}{rightarrow}=underset{AB}{rightarrow}/2+underset{CD}{rightarrow}/2 hay 2underset{MN}{rightarrow}=underset{AB}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow} (1)

Mặt khác underset{AB}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{DB}{rightarrow}

underset{CD}{rightarrow}=underset{CB}{rightarrow}+underset{BD}{rightarrow}

Nên underset{AB}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{CB}{rightarrow} (2)

underset{BD}{rightarrow}=underset{BD}{rightarrow}

Từ (1) và (2) ta có: underset{AB}{rightarrow}+underset{CD}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}+underset{CB}{rightarrow}=2underset{MN}{rightarrow} là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: underset{PQ}{rightarrow}=underset{MQ}{rightarrow}underset{MP}{rightarrow}= underset{AB}{rightarrow}/2 – underset{CD}{rightarrow}/2

Do đó: 2underset{PQ}{rightarrow}=underset{AB}{rightarrow}underset{CD}{rightarrow} (3)

Mặt khác: underset{AB}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}+ underset{CB}{rightarrow}

underset{CD}{rightarrow}=underset{BD}{rightarrow}underset{BC}{rightarrow}

Nênunderset{AB}{rightarrow}underset{CD}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}underset{BD}{rightarrow} (4)

underset{CB}{rightarrow}underset{(BC)}{rightarrow}=underset{0}{rightarrow}

Từ (3) và (4) ta suy ra underset{AB}{rightarrow}underset{CD}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}underset{BD}{rightarrow}=2underset{PQ}{rightarrow} là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian cho ba vecto tùy ý underset{a}{rightarrow},underset{b}{rightarrow},underset{c}{rightarrow}. Gọi underset{u}{rightarrow}=underset{a}{rightarrow}−2underset{b}{rightarrow}, underset{v}{rightarrow}=3underset{b}{rightarrow}underset{c}{rightarrow}, underset{w}{rightarrow}=2underset{c}{rightarrow}−3underset{a}{rightarrow}.

Chứng tỏ rằng ba vecto underset{u}{rightarrow}, underset{v}{rightarrow}, underset{w}{rightarrow} đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto underset{u}{rightarrow}, underset{v}{rightarrow}, underset{w}{rightarrow} đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho underset{w}{rightarrow}=punderset{u}{rightarrow}+qunderset{v}{rightarrow}.

Giả sử có underset{w}{rightarrow}=punderset{u}{rightarrow}+qunderset{v}{rightarrow}

2c−3underset{a}{rightarrow}=p(underset{a}{rightarrow}−2b)+q(3underset{a}{rightarrow}underset{c}{rightarrow})

⇔ (3+p)underset{a}{rightarrow}+(3q−2p)underset{b}{rightarrow}−(q+2)underset{c}{rightarrow}=underset{0}{rightarrow} (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý underset{a}{rightarrow}, underset{b}{rightarrow}, underset{c}{rightarrow} nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

{3+p=0;3q−2p=0;q+2=0⇒p=−3;q=−2

Như vậy ta có: underset{w}{rightarrow}=−3underset{u}{rightarrow}−2underset{v}{rightarrow} nên ba vecto underset{u}{rightarrow}, v, underset{w}{rightarrow} đồng phẳng.

Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho một vecto underset{a}{rightarrow} tùy ý khác vecto underset{0}{rightarrow}. Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị underset{i}{rightarrow},underset{j}{rightarrow},underset{k}{rightarrow} trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto underset{a}{rightarrow}. Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức:

underset{AB}{rightarrow}.underset{CD}{rightarrow}+underset{AC}{rightarrow}.underset{DB}{rightarrow}+underset{AD}{rightarrow}.underset{BC}{rightarrow}=0

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có

underset{AB}{rightarrow}.underset{CD}{rightarrow}=underset{AB}{rightarrow}(underset{AD}{rightarrow}underset{AC}{rightarrow})=underset{AB}{rightarrow}.underset{AD}{rightarrow}underset{AB}{rightarrow}.underset{AC}{rightarrow} (1)

underset{AC}{rightarrow}.underset{DB}{rightarrow}=underset{AC}{rightarrow}(underset{AB}{rightarrow}underset{AD}{rightarrow})=underset{AC}{rightarrow}.underset{AB}{rightarrow}underset{AC}{rightarrow}.underset{AD}{rightarrow} (2)

underset{AD}{rightarrow}.underset{BC}{rightarrow}=underset{AD}{rightarrow}(underset{AC}{rightarrow}underset{AB}{rightarrow})=underset{AD}{rightarrow}.underset{AC}{rightarrow}underset{AD}{rightarrow}.underset{AB}{rightarrow} (3)

Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

underset{AB}{rightarrow}.underset{CD}{rightarrow}+underset{AC}{rightarrow}.underset{DB}{rightarrow}+underset{AD}{rightarrow}.underset{BC}{rightarrow}=0

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD,AC⊥DB, nghĩa là underset{AB}{rightarrow}.underset{CD}{rightarrow}=0 và underset{AC}{rightarrow}.underset{DB}{rightarrow}=0 thì underset{AD}{rightarrow}.underset{BC}{rightarrow}= 0 và do đó AD⊥BC.”

———————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.