Toán 12 – Phương trình mũ và phương trình logarit

Để rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn, TaiLieuViet mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập.

Giải SBT Toán 12 bài 5

Bài 2.30 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

a) {(0,75)^{2x - 3}} = {(1frac{1}{3})^{5 - x}}

b) {5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1

c) {(frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}

d) {32^{frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}

Hướng dẫn làm bài:

a) {(frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(frac{4}{3})^{5 - x}}

Leftrightarrow {(frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(frac{3}{4})^{x - 5}}

Leftrightarrow 2x - 3 = x - 5 Leftrightarrow x = - 2

b)

begin{array}{l} {5^{{x^2} - 5x - 6}} = {5^0} Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = - 1\ x = 6 end{array} right. end{array}

c)

begin{array}{l} {(frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {(frac{1}{7})^{ - x - 1}} Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = - x - 1 Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = - 1\ x = 2 end{array} right. end{array}

d) {2^{5.frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2}}{.5^{3.frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} < = > {2^{frac{{5x + 25}}{{x - 7}} + 2}} = {5^{frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}} < = > {2^{frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}} = {5^{frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}

Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:

frac{{7x + 11}}{{x - 7}} = frac{{3x + 51}}{{x - 3}}{log _2}5 < = > left{ {begin{array}{*{20}{c}} {7{x^2} - 10x - 33 = (3{x^2} + 30x - 357){{log }_2}5}\ {x ne 7,x ne 3} end{array}} right.

< = > (7 - 3{log _2}5){x^2} - 2(5 + 15{log _2}5) - (33 - 357{log _2}5) = 0

Ta có: Delta ' = {(5 + 15{log _2}5)^2} + (7 - 3{log _2}5)(33 - 357{log _2}5)

= 1296log _2^25 - 2448{log _2}5 + 256 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm: x = frac{{5 + 15{{log }_2}5 pm sqrt {Delta '} }}{{7 - 3{{log }_2}5}}, đều thỏa mãn điều kiện

Bài 2.31 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

a) {2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}

b) {5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0

c) {4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0

d) - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0

Hướng dẫn làm bài:

a) {16.2^x} + {4.2^x} = {5.5^x} + {3.5^x}

c) Chia hai vế cho {12^x}({12^x} > 0), ta được:

4{(frac{3}{4})^x} + 1 - 3{(frac{4}{3})^x} = 0

Đặt t = {(frac{3}{4})^x}(t > 0), ta có phương trình:

4t + 1 - frac{3}{t} = 0 Leftrightarrow 4{t^2} + t - 3 = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = - 1(l)}\ {t = frac{3}{4}} end{array}} right.

Do đó, {(frac{3}{4})^x} = {(frac{3}{4})^1}. Vậy x = 1.

d) Đặt t = {2^x}(t > 0), ta có phương trình:

- {t^3} + 2{t^2} + t - 2 = 0 Leftrightarrow(t - 1)(t + 1)(2 - t) = 0 < = >Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\ {t = - 1(l)}\ {t = 2} end{array}} right.

Do đó,

left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1}\ {{2^x} = 2} end{array}} right.

Bài 2.32 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) {2^{ - x}} = 3x + 10

b) {(frac{1}{3})^{ - x}} = - 2x + 5

c) {(frac{1}{3})^x} = x + 1

d) {3^x} = 11 - x

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số: y = {2^{ - x}} và đường thẳng y = 3x +10 trên cùng một hệ trục tọa độ (H. 57) ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = -2. Thử lại, ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số y = {2^{ - x}} luôn nghịch biến, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến.

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất.

Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = {(frac{1}{3})^{ - x}}và đường thẳng y = -2x + 5 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.58), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số y = {(frac{1}{3})^{ - x}}luôn đồng biến, hàm số y = -2x + 5 luôn nghịch biến.

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = {(frac{1}{3})^x} và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.59), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Thử lại, ta thấy x = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, y = {(frac{1}{3})^x} là hàm số luôn nghịch biến, hàm số y = x +1 luôn đồng biến.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.

Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

d) Vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng y = 11 – x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.60), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Thử lại, ta thấy x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, y=3x luôn đồng biến, y = 11 – x luôn nghịch biến. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.

Bài 2.33 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit sau:

a) log x + log {x^2} = log 9x

b) log {x^4} + log 4x = 2 + log {x^3}$

c) {log _4}{rm{[}}(x + 2)(x + 3){rm{]}} + {log _4}frac{{x - 2}}{{x + 3}} = 2

d) {log _{sqrt 3 }}(x - 2){log _5}x = 2{log _3}(x - 2)

Hướng dẫn làm bài:

a) Với điều kiện x > 0, ta có

log x + 2log x = log 9 + log x

Leftrightarrow log x = log 3 Leftrightarrow x = 3

b) Với điều kiện x > 0, ta có

4log x + log 4 + log x = 2log 10 + 3log x

Leftrightarrow log x = log 5 Leftrightarrow x = 5

c) Ta có điều kiện của phương trình đã cho là:

left{ {matrix{{(x + 2)(x + 3) > 0} cr {{{x - 2} over {x + 3}} > 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{left[ {matrix{{x < - 3} cr {x > - 2} cr} } right.} cr {left[ {matrix{{x < - 3} cr {x > 2} cr} } right.} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{x < - 3} cr {x > 2} cr} (1)} right.

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:

{log _4}{rm{[}}(x + 2)(x + 3)frac{{x - 2}}{{x + 3}}{rm{]}}

= {log _4}16 Leftrightarrow {x^2} - 4 = 16 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 2sqrt 5 }\ {x = - 2sqrt 5 } end{array}} right.

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện (1).

d) Với điều kiện x > 2, ta có phương trình

2{log _3}(x - 2)({log _5}x - 1) = 0

Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{{log }_3}(x - 2) = 0}\ {{{log }_5}x - 1 = 0} end{array} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\ {x = 5} end{array}} right.} right.

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện x > 2.

Bài 2.34 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) {log _{frac{1}{3}}}x = 3x

b) {log _3}x = - x + 11

c) {log _4}x = frac{4}{x}

d) {16^x} = {log _{frac{1}{2}}}x

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số {log _{frac{1}{3}}}x = 3x và đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.61), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = frac{1}{3}

Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số y = {log _{frac{1}{3}}}x luôn nghịch biến, hàm số y = 3x luôn đồng biến. Vậy x = frac{1}{3} là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

b) Vẽ đồ thị của hàm số y = {log _3}x và đường thẳng y = – x + 11 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.62) , ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 9. Lập luận tương tự câu a), ta cũng có đây là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số y = {log _4}x và y = frac{4}{x} trên cùng một hệ trục tọa độ (H.63), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4. Ta cũng có hàm số y = {log _3}x luôn đồng biến, hàm số y = frac{4}{x} luôn nghịch biến trên (0; + infty ). Do đó, x = 4 là nghiệm duy nhất.

Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

p>d) Vẽ đồ thị của các hàm số y = {16^x} và y = {log _{frac{1}{2}}}x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.64), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = frac{1}{4}. Thử lại, ta thấy x = frac{1}{4} thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, hàm số luôn đồng biến, hàm số luôn nghịch biến.

Vậy x = frac{1}{4} là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2.35 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình logarit:

a) {log _2}({2^x} + 1).{log _2}({2^{x + 1}} + 2) = 2

b) {x^{log 9}} + {9^{log x}} = 6

c) {x^{3{{log }^3}x - frac{2}{3}log x}} = 100sqrt[3]{{10}}

d) 1 + 2{log _{x + 2}}5 = {log _5}(x + 2)

Hướng dẫn làm bài:

a) {log _2}({2^x} + 1).{log _2}{rm{[}}2({2^x} + 1){rm{]}} = 2

Leftrightarrow {log _2}({2^x} + 1).{rm{[}}1 + {log _2}({2^x} + 1){rm{]}} = 2

Đặt t = {log _2}({2^x} + 1), ta có phương trình

t(1 + t) = 2 ⇔ {t^2} + t – 2 = 0 eqalign{& Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 1} cr {t = - 2} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{{log }_2}({2^x} + 1) = 1} cr {{{log }_2}({2^x} + 1) = - 2} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{{2^x} + 1 = 2} cr {{2^x} + 1 = {1 over 4}} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{2^x} = 1} cr {{2^x} = - {3 over 4}(l)} cr} } right. Leftrightarrow x = 0 cr}

b) Với điều kiện x > 0, ta có: log ({x^{log 9}}) = log ({9^{log x}})

log ({x^{log 9}}) = log 9.log x và log ({9^{log x}}) = log x.log 9

Nên log ({x^{log 9}}) = log ({9^{log x}})

Suy ra:

{t^4} + 14{t^2} - 32t + 17 = 0 Leftrightarrow {(t - 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 Leftrightarrow t = 1{x^{log 9}} = {9^{log x}}

Đặt t = {x^{log 9}}, ta được phương trình 2t = 6 ⇔ t = 3 ⇔ {x^{log 9}} = 3

eqalign{ & Leftrightarrow log ({x^{log 9}}) = log 3 cr & Leftrightarrow log 9.log x = log 3 cr & Leftrightarrow log x = {{log 3} over {log 9}} cr & Leftrightarrow log x = {1 over 2} cr}

Leftrightarrow x = sqrt {10} (thỏa mãn điều kiện x > 0)

c) Với điều kiện x > 0, lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:

(3{log ^3}x - frac{2}{3}log x).log x = frac{7}{3}

Đặt t = log x, ta được phương trình 3{t^4} - frac{2}{3}{t^2} - frac{7}{3} = 0

eqalign{ & Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ {t^2} = 1 hfill cr {t^2} = - {7 over 9}left( {loại} right) hfill cr} right.left[ matrix{ t = 1 hfill cr t = - 1 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ log x = 1 hfill cr log x = - 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{ x = 10 hfill cr x = {1 over {10}} hfill cr} right. cr}

d) Đặt t = {log _5}(x + 2) với điều kiện x + 2{rm{ }} > 0,,,x + 2 ne 1, ta có:

eqalign{& 1 + {2 over t} = t Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0,t ne 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{t = - 1} cr {t = 2} cr} } right. Leftrightarrow left[ {matrix{{{{log }_5}(x + 2) = - 1} cr {{{log }_5}(x + 2) = 2} cr} } right. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x + 2 = {1 over 5}} cr {x + 2 = 25} cr} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = - {9 over 5}} cr {x = 23} cr} } right.} right. cr}

Bài 2.36 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình 25x−6.5x+5=0 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

Hướng dẫn làm bài:

Đáp số: x = 0; x = 1.

Bài 2.37 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình: {4^{2x + sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3}}} = {4^{2 + sqrt {x + 2} }} + {2^{{x^3} + 4x - 4}}(Đề thi đại học năm 2010, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: x ge - 2

Phương trình tương đương với:

({2^{4x}} - {2^4})({2^{2sqrt {x + 2} }} - {2^{{x^3} - 4}}) = 0. Suy ra:

Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {{2^{4x}} - {2^4} = 0}\ {{2^{2sqrt {x + 2} }} - {2^{{x^3} - 4}} = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\ {2sqrt {x + 2} = {x^3} - 4} end{array}} right.

Nhận thấy x ge sqrt[3]{4} và phương trình có một nghiệm x = 2. Trên {rm{[}}sqrt[3]{4}; + infty ), hàm số f(x) = 2sqrt {x + 2} - {x^3} + 4 có đạo hàm f(x) = 2sqrt {x + 2} - {x^3} + 4 nên f(x) luôn nghịch biến. Suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2.

Bài 2.38 trang 126 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình:

f(x) = 2sqrt {x + 2} - {x^3} + 4

(Đề thi Đại học năm 2011, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Điều kiện: - 1 le x le 1

Phương trình đã cho tương đương với:

eqalign{ & {log _2}(8 - {x^2}) = {log _2}{rm{[}}4(sqrt {1 + x} + sqrt {1 - x} ){rm{]}} cr & Leftrightarrow {(8 - {x^2})^2} = 16(2 + 2sqrt {1 - {x^2}} ) cr}

Đặt t = sqrt {1 - {x^2}} ta được:

eqalign{ & {t^4} + 14{t^2} - 32t + 17 = 0 cr & Leftrightarrow {(t - 1)^2}({t^2} + 2t + 17) = 0 cr & Leftrightarrow t = 1 cr}

Suy ra x = 0. Vậy phương trình có nghiệm x = 0

———————————

Trên đây TaiLieuViet.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit. Để có kết quả cao hơn trong học tập, TaiLieuViet xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà TaiLieuViet tổng hợp và đăng tải.